Phân tích nguyên lý Binius STARKs và những suy nghĩ tối ưu hóa của nó

1 Giới thiệu

Một trong những lý do chính khiến STARKs kém hiệu quả là: hầu hết các giá trị trong chương trình thực tế đều nhỏ, chẳng hạn như chỉ số trong vòng lặp for, giá trị đúng/sai, bộ đếm, v.v. Tuy nhiên, để đảm bảo tính an toàn của chứng minh dựa trên cây Merkle, việc sử dụng mã Reed-Solomon để mở rộng dữ liệu sẽ tạo ra nhiều giá trị dư thừa bổ sung chiếm lĩnh toàn bộ miền, ngay cả khi giá trị gốc rất nhỏ. Để giải quyết vấn đề này, việc giảm kích thước miền đã trở thành chiến lược then chốt.

Như bảng 1 đã chỉ ra, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ đầu tiên là 252 bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ hai là 64 bit, bề rộng mã hóa của STARKs thế hệ thứ ba là 32 bit, nhưng bề rộng mã hóa 32 bit vẫn còn tồn tại rất nhiều không gian lãng phí. So với đó, trường nhị phân cho phép thao tác trực tiếp trên các bit, mã hóa chặt chẽ và hiệu quả mà không có không gian lãng phí nào, tức là STARKs thế hệ thứ tư.

Bảng 1: Đường đi mở rộng của STARKs

| Đại số | Độ rộng mã hóa | Hệ thống đại diện | |------|----------|----------| | Thế hệ 1 | 252bit | StarkWare | | Thế hệ thứ 2 | 64bit | Plonky2 | | Thế hệ thứ 3 | 32bit | BabyBear | | Thế hệ thứ 4 | Miền nhị phân | Binius |

So với Goldilocks, BabyBear, Mersenne31 và một số nghiên cứu mới gần đây về trường hữu hạn, nghiên cứu về trường nhị phân có thể truy ngược về thập niên 80 của thế kỷ trước. Hiện tại, trường nhị phân đã được ứng dụng rộng rãi trong mật mã, với các ví dụ điển hình bao gồm:

• Tiêu chuẩn mã hóa nâng cao (AES), dựa trên miền F28;

• Mã xác thực tin nhắn Galois ( GMAC ), dựa trên trường F2128;

• Mã QR, sử dụng mã hóa Reed-Solomon dựa trên F28;

• Giao thức FRI gốc và zk-STARK, cũng như hàm băm Grøstl vào vòng chung kết SHA-3, hàm này dựa trên trường F28, là một thuật toán băm rất phù hợp cho đệ quy.

Khi sử dụng miền nhỏ hơn, việc mở rộng miền trở nên ngày càng quan trọng để đảm bảo tính an toàn. Miền nhị phân mà Binius sử dụng hoàn toàn phụ thuộc vào việc mở rộng miền để đảm bảo tính an toàn và khả năng sử dụng thực tế. Hầu hết các đa thức liên quan trong tính toán Prover không cần phải vào miền mở rộng, mà chỉ cần hoạt động trong miền cơ sở, từ đó đạt được hiệu suất cao trong miền nhỏ. Tuy nhiên, kiểm tra điểm ngẫu nhiên và tính toán FRI vẫn cần phải đi sâu vào miền mở rộng lớn hơn để đảm bảo tính an toàn cần thiết.

Khi xây dựng hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân, có 2 vấn đề thực tế: Khi tính toán biểu diễn trace trong STARKs, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn bậc của đa thức; Khi cam kết cây Merkle trong STARKs, cần thực hiện mã hóa Reed-Solomon, kích thước miền sử dụng phải lớn hơn kích thước sau khi mở rộng mã.

Binius đã đề xuất một giải pháp đổi mới để xử lý hai vấn đề này, và đạt được điều đó bằng cách biểu diễn cùng một dữ liệu theo hai cách khác nhau: đầu tiên, sử dụng đa biến ( cụ thể là đa thức nhiều tuyến tính ) thay thế cho đa thức đơn biến, thông qua các giá trị của nó trên "siêu khối" ( hypercubes ) để biểu diễn toàn bộ quỹ đạo tính toán; thứ hai, do mỗi chiều của siêu khối có độ dài bằng 2, vì vậy không thể thực hiện mở rộng Reed-Solomon chuẩn như STARKs, nhưng có thể coi siêu khối là hình vuông ( square ), và thực hiện mở rộng Reed-Solomon dựa trên hình vuông đó. Phương pháp này đảm bảo tính an toàn trong khi nâng cao đáng kể hiệu quả mã hóa và hiệu suất tính toán.

2 Phân tích nguyên lý

Hiện tại, hầu hết các hệ thống SNARKs được xây dựng thường bao gồm hai phần sau:

• Chứng minh Oracle tương tác đa thức lý thuyết thông tin (Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP): PIOP là cốt lõi của hệ thống chứng minh, chuyển đổi mối quan hệ tính toán đầu vào thành các phương trình đa thức có thể xác minh. Các giao thức PIOP khác nhau cho phép người chứng minh gửi từng bước đa thức thông qua sự tương tác với người xác minh, giúp người xác minh chỉ cần truy vấn kết quả đánh giá của một số ít đa thức để xác minh tính chính xác của phép tính. Các giao thức PIOP hiện có bao gồm: PLONK PIOP, Spartan PIOP và HyperPlonk PIOP, mỗi giao thức xử lý các biểu thức đa thức theo cách khác nhau, từ đó ảnh hưởng đến hiệu suất và hiệu quả của toàn bộ hệ thống SNARK.

• Chương trình cam kết đa thức (Polynomial Commitment Scheme, PCS): Chương trình cam kết đa thức được sử dụng để chứng minh liệu phương trình đa thức được tạo ra bởi PIOP có đúng hay không. PCS là một công cụ mật mã, qua đó, người chứng minh có thể cam kết một đa thức và sau đó xác minh kết quả đánh giá của đa thức đó, đồng thời ẩn đi các thông tin khác của đa thức. Các chương trình cam kết đa thức phổ biến bao gồm KZG, Bulletproofs, FRI(Fast Reed-Solomon IOPP) và Brakedown, v.v. Các PCS khác nhau có hiệu suất, tính bảo mật và tình huống sử dụng khác nhau.

Dựa trên nhu cầu cụ thể, chọn các PIOP và PCS khác nhau, và kết hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elip phù hợp, có thể xây dựng hệ thống chứng minh với các thuộc tính khác nhau. Ví dụ:

• Halo2: Kết hợp PLONK PIOP và Bulletproofs PCS, dựa trên đường cong Pasta. Halo2 được thiết kế với sự chú trọng vào khả năng mở rộng và loại bỏ thiết lập tin cậy trong giao thức ZCash.

• Plonky2: áp dụng PLONK PIOP và FRI PCS kết hợp, và dựa trên miền Goldilocks. Plonky2 được thiết kế để đạt được tính tái diễn hiệu quả. Khi thiết kế những hệ thống này, PIOP và PCS được chọn phải phù hợp với miền hữu hạn hoặc đường cong elliptic được sử dụng, nhằm đảm bảo tính chính xác, hiệu suất và an toàn của hệ thống. Sự lựa chọn các kết hợp này không chỉ ảnh hưởng đến kích thước chứng minh SNARK và hiệu quả xác minh, mà còn quyết định xem hệ thống có thể đạt được tính minh bạch mà không cần thiết lập đáng tin cậy, có thể hỗ trợ chứng minh tái diễn hoặc chứng minh tổng hợp và các tính năng mở rộng khác.

Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + miền nhị phân. Cụ thể, Binius bao gồm năm công nghệ chính để đạt được hiệu suất và độ an toàn cao. Đầu tiên, dựa trên miền nhị phân dạng tháp (towers of binary fields), cấu trúc số học đã tạo thành nền tảng cho các phép toán của nó, có khả năng thực hiện các phép toán đơn giản trong miền nhị phân. Thứ hai, Binius trong giao thức chứng minh Oracle tương tác (PIOP), đã điều chỉnh kiểm tra sản phẩm và hoán vị HyperPlonk, đảm bảo tính nhất quán kiểm tra an toàn và hiệu quả giữa các biến và hoán vị của chúng. Thứ ba, giao thức giới thiệu một chứng minh dịch chuyển đa tuyến mới, tối ưu hóa hiệu suất xác minh các mối quan hệ đa tuyến trên miền nhỏ. Thứ tư, Binius sử dụng một phiên bản cải tiến của chứng minh tìm kiếm Lasso, cung cấp tính linh hoạt và độ an toàn mạnh mẽ cho cơ chế tìm kiếm. Cuối cùng, giao thức sử dụng kế hoạch cam kết đa thức miền nhỏ (Small-Field PCS), cho phép nó thực hiện hệ thống chứng minh hiệu quả trong miền nhị phân và giảm thiểu chi phí thường liên quan đến miền lớn.

2.1 Trường hữu hạn: Toán tử hóa dựa trên towers of binary fields

Trường nhị phân tháp là chìa khóa để thực hiện tính toán nhanh có thể xác minh, chủ yếu nhờ vào hai khía cạnh: tính toán hiệu quả và tính toán hiệu quả. Trường nhị phân về bản chất hỗ trợ các phép toán số học rất hiệu quả, khiến nó trở thành lựa chọn lý tưởng cho các ứng dụng mật mã nhạy cảm với yêu cầu về hiệu suất. Hơn nữa, cấu trúc trường nhị phân hỗ trợ quá trình số học đơn giản hóa, tức là các phép toán thực hiện trên trường nhị phân có thể được biểu diễn dưới dạng đại số ngắn gọn và dễ xác minh. Những đặc điểm này, cùng với khả năng tận dụng đầy đủ các đặc tính phân cấp thông qua cấu trúc tháp, khiến trường nhị phân đặc biệt thích hợp cho các hệ thống chứng minh mở rộng như Binius.

Trong đó "canonical" chỉ cách biểu diễn duy nhất và trực tiếp của các phần tử trong miền nhị phân. Ví dụ, trong miền nhị phân cơ bản nhất F2, bất kỳ chuỗi k bit nào cũng có thể được ánh xạ trực tiếp đến một phần tử miền nhị phân k bit. Điều này khác với miền số nguyên tố, miền số nguyên tố không thể cung cấp biểu diễn chuẩn này trong một số bit nhất định. Mặc dù miền số nguyên tố 32 bit có thể chứa trong 32 bit, nhưng không phải mọi chuỗi 32 bit đều có thể tương ứng một cách duy nhất với một phần tử miền, trong khi miền nhị phân lại có sự tiện lợi của ánh xạ một-một này. Trong miền số nguyên tố Fp, các phương pháp giảm phổ biến bao gồm giảm Barrett, giảm Montgomery, cũng như các phương pháp giảm đặc biệt cho các miền hữu hạn cụ thể như Mersenne-31 hoặc Goldilocks-64. Trong miền nhị phân F2k, các phương pháp giảm thường được sử dụng bao gồm giảm đặc biệt ( như được sử dụng trong AES ), giảm Montgomery ( như được sử dụng trong POLYVAL ) và giảm đệ quy ( như Tower ). Bài báo "Khám Phá Không Gian Thiết Kế của ECC-Hardware Triển Khai Miền Số Nguyên Tố So Với Miền Nhị Phân" chỉ ra rằng miền nhị phân không cần phải đưa vào bit mang trong các phép toán cộng và nhân, và phép toán bình phương trong miền nhị phân rất hiệu quả, vì nó tuân theo quy tắc đơn giản (X + Y )2 = X2 + Y2.

Như hình 1 cho thấy, một chuỗi 128 bit: Chuỗi này có thể được giải thích theo nhiều cách trong bối cảnh miền nhị phân. Nó có thể được coi là một phần tử độc nhất trong miền nhị phân 128 bit, hoặc được phân tích thành hai phần tử miền tháp 64 bit, bốn phần tử miền tháp 32 bit, mười sáu phần tử miền tháp 8 bit, hoặc một trăm hai mươi tám phần tử miền F2. Sự linh hoạt trong cách biểu diễn này không yêu cầu bất kỳ chi phí tính toán nào, chỉ là một phép chuyển đổi kiểu chuỗi bit (typecast), là một thuộc tính rất thú vị và hữu ích. Đồng thời, các phần tử miền nhỏ có thể được đóng gói thành các phần tử miền lớn hơn mà không cần thêm chi phí tính toán. Giao thức Binius đã tận dụng đặc điểm này để nâng cao hiệu quả tính toán. Hơn nữa, bài báo "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" đã khảo sát độ phức tạp tính toán của phép nhân, bình phương và phép đảo ngược trong miền nhị phân tháp n bit ( có thể phân rã thành miền con m bit ).

2.2 PIOP: Phiên bản cải biên HyperPlonk Product và PermutationCheck------ Áp dụng cho miền nhị phân

Thiết kế PIOP trong giao thức Binius đã tham khảo HyperPlonk, sử dụng một loạt cơ chế kiểm tra cốt lõi để xác minh tính chính xác của đa thức và tập hợp nhiều biến. Những kiểm tra cốt lõi này bao gồm:

1. GateCheck: xác minh chứng kiến bí mật ω và đầu vào công khai x có thỏa mãn quan hệ toán học của mạch C(x,ω)=0, để đảm bảo mạch hoạt động chính xác.

2. PermutationCheck: Xác thực kết quả đánh giá của hai đa thức nhiều biến f và g trên lập phương siêu Boole có phải là quan hệ hoán vị hay không f(x) = f(π(x)), để đảm bảo tính nhất quán của sự hoán vị giữa các biến đa thức.

3. LookupCheck: xác minh xem giá trị của đa thức có nằm trong bảng tra cứu đã cho hay không, tức là f(Bµ) ⊆ T(Bµ), đảm bảo rằng một số giá trị nằm trong khoảng đã chỉ định.

4. MultisetCheck: Kiểm tra xem hai tập hợp đa biến có bằng nhau hay không, tức là {(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H, đảm bảo tính nhất quán giữa nhiều tập hợp.

5. ProductCheck: Kiểm tra xem giá trị của đa thức hợp lý trên siêu lập phương Boolean có bằng một giá trị được tuyên bố nào đó ∏x∈Hµ f(x) = s, để đảm bảo tính chính xác của tích đa thức.

6. ZeroCheck: Xác minh một đa biến đa thức tại bất kỳ điểm nào trên hypercube Boolean có phải là zero ∏x∈Hµ f(x) = 0, ∀x ∈ Bµ, để đảm bảo phân bố điểm không của đa thức.

7. SumCheck: Kiểm tra xem giá trị tổng của đa thức nhiều biến có bằng giá trị đã khai báo hay không ∑x∈Hµ f(x) = s. Bằng cách chuyển đổi vấn đề đánh giá đa thức nhiều biến thành đánh giá đa thức đơn biến, giảm độ phức tạp tính toán của bên xác minh. Ngoài ra, SumCheck còn cho phép xử lý theo lô, thông qua việc đưa vào số ngẫu nhiên, xây dựng tổ hợp tuyến tính để thực hiện xử lý theo lô cho nhiều trường hợp kiểm tra tổng.

8. BatchCheck: Dựa trên SumCheck, xác minh tính chính xác của việc đánh giá nhiều đa thức nhiều biến, nhằm nâng cao hiệu quả của giao thức.

Mặc dù Binius và HyperPlonk có nhiều điểm tương đồng trong thiết kế giao thức, nhưng Binius đã cải tiến ở 3 khía cạnh sau:

• Tối ưu hóa ProductCheck: Trong HyperPlonk, ProductCheck yêu cầu mẫu số U không được bằng 0 ở mọi điểm trên siêu khối, và tích phải bằng một giá trị cụ thể; Binius đã đơn giản hóa quy trình kiểm tra này bằng cách đặc hóa giá trị đó thành 1, từ đó giảm độ phức tạp tính toán.

• Xử lý vấn đề chia cho không: HyperPlonk không xử lý đầy đủ trường hợp chia cho không, dẫn đến không thể khẳng định vấn đề U không bằng không trên siêu lập phương; Binius xử lý đúng vấn đề này, ngay cả trong trường hợp mẫu số bằng không, ProductCheck của Binius vẫn có thể tiếp tục xử lý, cho phép mở rộng đến bất kỳ giá trị tích sản phẩm nào.

• Kiểm tra hoán vị xuyên cột: HyperPlonk không có chức năng này; Binius hỗ trợ kiểm tra hoán vị giữa nhiều cột, điều này cho phép Binius xử lý các trường hợp sắp xếp đa thức phức tạp hơn.

Do đó, Binius đã cải tiến cơ chế PIOPSumCheck hiện có, nâng cao tính linh hoạt và hiệu quả của giao thức, đặc biệt trong việc xử lý các xác minh đa biến đa thức phức tạp hơn, cung cấp hỗ trợ tính năng mạnh mẽ hơn. Những cải tiến này không chỉ giải quyết những hạn chế trong HyperPlonk mà còn đặt nền tảng cho các hệ thống chứng minh dựa trên miền nhị phân trong tương lai.

2.3 PIOP: lập luận dịch đa tuyến mới ------ áp dụng cho hypercube boolean

Trong giao thức Binius, ảo