Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización
1 Introducción
Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.
Como se muestra en la Tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operaciones directas sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.
En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de Cifrado Avanzado (AES), basado en el campo F28;
Galois código de autenticación de mensajes ( GMAC ), basado en el dominio F2128;
Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.
Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El campo binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el campo base, logrando así una alta eficiencia en el campo pequeño. Sin embargo, las comprobaciones de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en un campo de extensión más grande para garantizar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda ambos problemas y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables ( en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una expansión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, y realizar la expansión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, al asegurar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia del codificado y el rendimiento computacional.
2 Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente generalmente incluye las siguientes dos partes:
Prueba de Oracle Interactiva Polinómica Teórica de la Información ), PIOP(: PIOP, como núcleo del sistema de pruebas, transforma la relación computacional de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios gradualmente a través de la interacción con el validador, de modo que el validador puede verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, cada uno de los cuales maneja las expresiones polinómicas de manera diferente, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico )Polynomial Commitment Scheme, PCS(: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si la igualdad polinómica generada por PIOP es válida. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI)Fast Reed-Solomon IOPP( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:
• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Al diseñar Halo2, se presta atención a la escalabilidad y se elimina la configuración confiable en el protocolo ZCash.
• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, las PIOP y PCS seleccionadas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin la necesidad de una configuración de confianza, y si puede admitir funciones ampliadas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominios binarios. En particular, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios )towers of binary fields( constituye la base de su cálculo, permitiendo la realización de operaciones simplificadas en el dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba Oracle interactivo )PIOP(, asegurando una verificación consistente, segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en pequeños dominios. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso de polinomios de pequeños dominios )Small-Field PCS(, lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el dominio binario y reduce los gastos generalmente asociados con los grandes dominios.
) 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios
Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, soportan operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas que son sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario admite un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus características jerárquicas a través de la estructura en torre, hacen que los campos binarios sean particularmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.
Entre ellos, "canonical" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de longitud k se puede mapear directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número determinado de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede incluirse en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene la conveniencia de este mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para ciertos campos finitos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comúnmente utilizados incluyen la reducción especial ( como se usa en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que el campo binario no requiere llevar en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada )X + Y (2 = X2 + Y 2.
Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto del dominio binario. Puede considerarse como un elemento único en un dominio binario de 128 bits, o puede descomponerse en dos elementos de dominio de torre de 64 bits, cuatro elementos de dominio de torre de 32 bits, 16 elementos de dominio de torre de 8 bits, o 128 elementos del dominio F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits )typecast(, que es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de dominio pequeños pueden empaquetarse en elementos de dominio más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius se beneficia de esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el documento "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de multiplicación, elevación al cuadrado y operación de inversión en un dominio binario de torre de n bits ) descomponiéndolo en un subdominio de m bits (.
![Investigación de Bitlayer: Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable a campos binarios
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se inspira en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación central para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:
GateCheck: Verifica si el testigo confidencial ω y la entrada pública x satisfacen la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.
LookupCheck: verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.
MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.
ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para garantizar la corrección del producto polinómico.
ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariado es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariado en la evaluación de un polinomio univariado, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de suma.
BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no nulo en todo el hipercubo, y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que llevó a la imposibilidad de afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de Permutaciones de Filas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutaciones entre múltiples filas, lo que permite a Binius manejar situaciones de disposición polinómica más complejas.
Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo existente PIOPSumCheck, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de pruebas basados en campos binarios.
) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano
En el protocolo Binius,虚
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zkProofInThePudding
· 07-18 00:38
Optimizar STARKs es muy considerado, cada generación ahorra más.
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MissedTheBoat
· 07-17 06:26
Otra artículo sobre zk-SNARKs que no entiendo
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LucidSleepwalker
· 07-17 06:23
Optimización, optimización, aún optimización. 32 bits son un desperdicio. Estos desarrolladores no sirven.
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GateUser-00be86fc
· 07-17 06:23
¡No lo entiendo, pero estoy muy impactado!
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BearMarketLightning
· 07-17 06:14
¡Esta eficiencia es comparable a la de un coche clásico de 32 años acelerando en la autopista!
Binius STARKs: sistema eficiente de zk-SNARKs basado en dominios binarios
Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización
1 Introducción
Una de las principales razones de la baja eficiencia de STARKs es que la mayoría de los valores en los programas reales son bastante pequeños, como los índices en los bucles for, valores booleanos, contadores, etc. Sin embargo, para garantizar la seguridad de las pruebas basadas en árboles de Merkle, al usar codificación de Reed-Solomon para expandir los datos, muchos valores redundantes adicionales ocuparán todo el campo, incluso si el valor original en sí es muy pequeño. Para resolver este problema, reducir el tamaño del campo se ha convertido en una estrategia clave.
Como se muestra en la Tabla 1, el ancho de codificación de la primera generación de STARKs es de 252 bits, el ancho de codificación de la segunda generación de STARKs es de 64 bits, y el ancho de codificación de la tercera generación de STARKs es de 32 bits, pero el ancho de codificación de 32 bits todavía presenta una gran cantidad de espacio desperdiciado. En comparación, el campo binario permite operaciones directas sobre los bits, con una codificación compacta y eficiente sin ningún espacio desperdiciado, es decir, la cuarta generación de STARKs.
Tabla 1: Rutas de derivación de STARKs
| Álgebra | Ancho de codificación | Sistema representativo | |------|----------|----------| | Primera generación | 252bit | StarkWare | | Segunda generación | 64bit | Plonky2 | | Tercera generación | 32bit | BabyBear | | Cuarta generación | Dominio binario | Binius |
En comparación con los campos finitos descubiertos en investigaciones recientes como Goldilocks, BabyBear y Mersenne31, la investigación sobre campos binarios se remonta a la década de 1980. Actualmente, los campos binarios se utilizan ampliamente en criptografía, ejemplos típicos incluyen:
Estándar de Cifrado Avanzado (AES), basado en el campo F28;
Galois código de autenticación de mensajes ( GMAC ), basado en el dominio F2128;
Código QR, utiliza codificación Reed-Solomon basada en F28;
Protocolo FRI original y zk-STARK, así como la función hash Grøstl que llegó a la final de SHA-3, que se basa en el campo F28, es un algoritmo hash muy adecuado para la recursión.
Cuando se utilizan dominios más pequeños, la operación de extensión de dominio se vuelve cada vez más importante para garantizar la seguridad. El campo binario utilizado por Binius depende completamente de la extensión de dominio para garantizar su seguridad y viabilidad práctica. La mayoría de los polinomios involucrados en los cálculos de Prover no necesitan entrar en la extensión de dominio, sino que solo operan en el campo base, logrando así una alta eficiencia en el campo pequeño. Sin embargo, las comprobaciones de puntos aleatorios y el cálculo de FRI aún necesitan profundizar en un campo de extensión más grande para garantizar la seguridad requerida.
Al construir un sistema de pruebas basado en el dominio binario, existen 2 problemas prácticos: al calcular la representación de la traza en STARKs, el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el grado del polinomio; al comprometer el árbol de Merkle en STARKs, se debe realizar la codificación de Reed-Solomon, y el tamaño del dominio utilizado debe ser mayor que el tamaño después de la expansión de la codificación.
Binius propuso una solución innovadora que aborda ambos problemas y representa los mismos datos de dos maneras diferentes: primero, utilizando polinomios multivariables ( en lugar de polinomios univariables, representando toda la trayectoria de cálculo a través de sus valores en "hipercubos" ); en segundo lugar, dado que la longitud de cada dimensión del hipercubo es 2, no se puede realizar una expansión estándar de Reed-Solomon como en STARKs, pero se puede considerar el hipercubo como un cuadrado (, y realizar la expansión de Reed-Solomon basada en ese cuadrado. Este método, al asegurar la seguridad, mejora enormemente la eficiencia del codificado y el rendimiento computacional.
2 Análisis de principios
La construcción de la mayoría de los sistemas SNARKs actualmente generalmente incluye las siguientes dos partes:
Prueba de Oracle Interactiva Polinómica Teórica de la Información ), PIOP(: PIOP, como núcleo del sistema de pruebas, transforma la relación computacional de entrada en ecuaciones polinómicas verificables. Diferentes protocolos PIOP permiten al probador enviar polinomios gradualmente a través de la interacción con el validador, de modo que el validador puede verificar si el cálculo es correcto consultando los resultados de evaluación de unos pocos polinomios. Los protocolos PIOP existentes incluyen: PIOP PLONK, PIOP Spartan y PIOP HyperPlonk, cada uno de los cuales maneja las expresiones polinómicas de manera diferente, lo que afecta el rendimiento y la eficiencia de todo el sistema SNARK.
Esquema de Compromiso Polinómico )Polynomial Commitment Scheme, PCS(: El esquema de compromiso polinómico se utiliza para probar si la igualdad polinómica generada por PIOP es válida. PCS es una herramienta criptográfica que permite al probador comprometerse a un polinomio y luego verificar el resultado de la evaluación de ese polinomio, mientras oculta otra información del polinomio. Los esquemas de compromiso polinómico comunes incluyen KZG, Bulletproofs, FRI)Fast Reed-Solomon IOPP( y Brakedown, entre otros. Diferentes PCS tienen diferentes rendimientos, seguridad y escenarios de aplicación.
Según las necesidades específicas, elija diferentes PIOP y PCS, y combine con un campo finito o una curva elíptica adecuada, se puede construir un sistema de pruebas con diferentes atributos. Por ejemplo:
• Halo2: combina PLONK PIOP y Bulletproofs PCS, y se basa en la curva Pasta. Al diseñar Halo2, se presta atención a la escalabilidad y se elimina la configuración confiable en el protocolo ZCash.
• Plonky2: utiliza PLONK PIOP combinado con FRI PCS, y se basa en el dominio de Goldilocks. Plonky2 está diseñado para lograr una recursividad eficiente. Al diseñar estos sistemas, las PIOP y PCS seleccionadas deben coincidir con el campo finito o la curva elíptica utilizada, para garantizar la corrección, el rendimiento y la seguridad del sistema. La elección de estas combinaciones no solo afecta el tamaño de la prueba SNARK y la eficiencia de verificación, sino que también determina si el sistema puede lograr transparencia sin la necesidad de una configuración de confianza, y si puede admitir funciones ampliadas como pruebas recursivas o pruebas agregadas.
Binius: HyperPlonk PIOP + Brakedown PCS + dominios binarios. En particular, Binius incluye cinco tecnologías clave para lograr su eficiencia y seguridad. Primero, la aritmética basada en torres de dominios binarios )towers of binary fields( constituye la base de su cálculo, permitiendo la realización de operaciones simplificadas en el dominio binario. En segundo lugar, Binius adapta la verificación de productos y permutaciones de HyperPlonk en su protocolo de prueba Oracle interactivo )PIOP(, asegurando una verificación consistente, segura y eficiente entre las variables y sus permutaciones. Tercero, el protocolo introduce una nueva prueba de desplazamiento multilineal, optimizando la eficiencia de la verificación de relaciones multilineales en pequeños dominios. Cuarto, Binius utiliza una versión mejorada de la prueba de búsqueda Lasso, proporcionando flexibilidad y una fuerte seguridad para el mecanismo de búsqueda. Finalmente, el protocolo utiliza un esquema de compromiso de polinomios de pequeños dominios )Small-Field PCS(, lo que le permite implementar un sistema de prueba eficiente en el dominio binario y reduce los gastos generalmente asociados con los grandes dominios.
) 2.1 Campo finito: aritmética basada en torres de campos binarios
Los campos binarios en torre son clave para implementar cálculos rápidos y verificables, principalmente debido a dos aspectos: cálculos eficientes y aritmética eficiente. Los campos binarios, en esencia, soportan operaciones aritméticas altamente eficientes, lo que los convierte en una opción ideal para aplicaciones criptográficas que son sensibles al rendimiento. Además, la estructura del campo binario admite un proceso de aritmética simplificado, es decir, las operaciones realizadas sobre el campo binario pueden representarse en una forma algebraica compacta y fácil de verificar. Estas características, junto con la capacidad de aprovechar completamente sus características jerárquicas a través de la estructura en torre, hacen que los campos binarios sean particularmente adecuados para sistemas de prueba escalables como Binius.
Entre ellos, "canonical" se refiere a la representación única y directa de un elemento en el campo binario. Por ejemplo, en el campo binario más básico F2, cualquier cadena de longitud k se puede mapear directamente a un elemento de campo binario de k bits. Esto es diferente de los campos primos, que no pueden proporcionar esta representación canónica dentro de un número determinado de bits. Aunque el campo primo de 32 bits puede incluirse en 32 bits, no todas las cadenas de 32 bits pueden corresponder de manera única a un elemento del campo, mientras que el campo binario tiene la conveniencia de este mapeo uno a uno. En el campo primo Fp, los métodos de reducción comunes incluyen la reducción de Barrett, la reducción de Montgomery, y métodos de reducción especiales para ciertos campos finitos como Mersenne-31 o Goldilocks-64. En el campo binario F2k, los métodos de reducción comúnmente utilizados incluyen la reducción especial ( como se usa en AES ), la reducción de Montgomery ### como se usa en POLYVAL ( y la reducción recursiva ) como Tower (. El artículo "Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations" señala que el campo binario no requiere llevar en las operaciones de suma y multiplicación, y que la operación de cuadrado en el campo binario es muy eficiente, ya que sigue la regla simplificada )X + Y (2 = X2 + Y 2.
Como se muestra en la figura 1, una cadena de 128 bits: esta cadena puede interpretarse de varias maneras en el contexto del dominio binario. Puede considerarse como un elemento único en un dominio binario de 128 bits, o puede descomponerse en dos elementos de dominio de torre de 64 bits, cuatro elementos de dominio de torre de 32 bits, 16 elementos de dominio de torre de 8 bits, o 128 elementos del dominio F2. Esta flexibilidad de representación no requiere ningún costo computacional, solo una conversión de tipo de cadena de bits )typecast(, que es una propiedad muy interesante y útil. Al mismo tiempo, los elementos de dominio pequeños pueden empaquetarse en elementos de dominio más grandes sin necesidad de costos computacionales adicionales. El protocolo Binius se beneficia de esta característica para mejorar la eficiencia computacional. Además, el documento "On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two" explora la complejidad computacional de multiplicación, elevación al cuadrado y operación de inversión en un dominio binario de torre de n bits ) descomponiéndolo en un subdominio de m bits (.
![Investigación de Bitlayer: Análisis de los principios de Binius STARKs y reflexiones sobre su optimización])https://img-cdn.gateio.im/webp-social/moments-5775a629f494c4e01e2b74d864fa4100.webp(
) 2.2 PIOP: versión adaptada del producto HyperPlonk y PermutationCheck------aplicable a campos binarios
El diseño de PIOP en el protocolo Binius se inspira en HyperPlonk y utiliza una serie de mecanismos de verificación central para validar la corrección de polinomios y conjuntos multivariables. Estas verificaciones centrales incluyen:
GateCheck: Verifica si el testigo confidencial ω y la entrada pública x satisfacen la relación de operación del circuito C(x,ω)=0, para asegurar que el circuito funcione correctamente.
PermutationCheck: Verificar si los resultados de evaluación de los dos polinomios multivariables f y g en el hipercubo booleano son una relación de permutación f###x( = f)π(x)(, para asegurar la consistencia de la permutación entre las variables del polinomio.
LookupCheck: verificar si la evaluación del polinomio está en la tabla de búsqueda dada, es decir, f(Bµ) ⊆ T)Bµ(, asegurando que ciertos valores estén dentro del rango especificado.
MultisetCheck: verifica si dos conjuntos multivariables son iguales, es decir, {)x1,i,x2,(}i∈H={)y1,i,y2,(}i∈H, garantizando la consistencia entre múltiples conjuntos.
ProductCheck: Verificar si la evaluación de un polinomio racional en el hipercubo booleano es igual a un valor declarado ∏x∈Hµ f)x( = s, para garantizar la corrección del producto polinómico.
ZeroCheck: Verificar si un polinomio multivariable en el hipercubo booleano en cualquier punto es cero ∏x∈Hµ f)x( = 0, ∀x ∈ Bµ, para asegurar la distribución de los ceros del polinomio.
SumCheck: Verifica si la suma de un polinomio multivariado es igual al valor declarado ∑x∈Hµ f)x( = s. Al transformar el problema de evaluación de un polinomio multivariado en la evaluación de un polinomio univariado, se reduce la complejidad computacional del verificador. Además, SumCheck también permite el procesamiento por lotes, introduciendo números aleatorios para construir combinaciones lineales que permiten el procesamiento por lotes de múltiples instancias de verificación de suma.
BatchCheck: Basado en SumCheck, verifica la corrección de la evaluación de múltiples polinomios multivariables para mejorar la eficiencia del protocolo.
A pesar de que Binius y HyperPlonk tienen muchas similitudes en el diseño del protocolo, Binius ha realizado mejoras en los siguientes 3 aspectos:
Optimización de ProductCheck: en HyperPlonk, ProductCheck requiere que el denominador U sea no nulo en todo el hipercubo, y que el producto debe ser igual a un valor específico; Binius simplifica este proceso de verificación al especializar ese valor a 1, reduciendo así la complejidad computacional.
Manejo del problema de división por cero: HyperPlonk no pudo manejar adecuadamente los casos de división por cero, lo que llevó a la imposibilidad de afirmar que U es no cero en el hipercubo; Binius manejó correctamente este problema, incluso en el caso de que el denominador sea cero, el ProductCheck de Binius puede continuar procesando, permitiendo la generalización a cualquier valor de producto.
Comprobación de Permutaciones de Filas: HyperPlonk no tiene esta función; Binius admite la comprobación de permutaciones entre múltiples filas, lo que permite a Binius manejar situaciones de disposición polinómica más complejas.
Por lo tanto, Binius ha mejorado la flexibilidad y eficiencia del protocolo mediante la mejora del mecanismo existente PIOPSumCheck, especialmente al manejar la verificación de polinomios multivariables más complejos, proporcionando un soporte funcional más robusto. Estas mejoras no solo abordan las limitaciones en HyperPlonk, sino que también sientan las bases para futuros sistemas de pruebas basados en campos binarios.
) 2.3 PIOP: nuevo argumento de desplazamiento multilineal ------ aplicable al hipercubo booleano
En el protocolo Binius,虚